【转】钱若军教授特邀报告——结构屈曲稳定

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钱老师关于结构屈曲的探讨值得我们学习和思考。特别是对于有限元软件是否能够完美的解决屈曲问题的探讨，我认为很有意义。
特意转过来分享。

结构屈曲稳定

         我今天所讲的这些都是我一些个人看法，不一定合适，我讲之前先简单介绍一下我今天所发言的依据是什么。我的主要参考是，21世纪开始到上个世纪结束之前国外20几位著名学者在这个领域写的总结性的书，非常厚，大概有上千页，其中呢，有关于稳定的书，也有关于有限元的书。      

         关于局部稳定非常全面的是美国西北大学巴扎特（音译）教授以及瑞典华歇德（音译）教授编写的两本书，另外还依据一本书是加拿大滑铁卢大学库山英教授写的一本书，但这本书不是最近的，是1975年就有了，这本书书名是《非线性分析》，但里面讲的全是稳定，这本书完全是一本数学弹性力学的深入，但是我觉得这本书非常经典。这三本书是我的主要参考依据。

         我们简单回顾一下屈曲的发展历程，从1744年欧拉提出欧拉荷载以来将近300年，但其中到了20世纪30年代的时候开始研究壳体的非线性问题，1940年冯卡门和钱学森在研究空气动力学的时候，遇到飞行器的设计强度问题，也研究了屈曲稳定，他们是从30年代的研究开始延续下来的，但是做了对一个非常简单杆件的研究提出了具有里程碑式的结论，就是屈曲的理论分析与试验值的巨大差别的原因在于两个地方：

          1.非线性程度很强

          2.缺陷问题

          从此以后呢，对屈曲理论分析，非线性问题的要求就被大家所接受了。紧接着，1940年荷兰有一个博士科伊特写了一篇博士论文，可惜，这篇博士论文大家看不懂，直到1960年翻译成英文之后发现这篇论文价值非常高，他的研究是非线性屈曲分析理论，其**别是比较具体研究了初始缺陷的影响，此外，他还有一个很重要的研究贡献就是荷载模态与屈曲模态的综合，这点并没有被大家所注意，但是在工程设计中起了很大的作用。

         屈曲研究从60年代有限元提出来以后到70,80年代，国外研究有限元非线性分析的一些学者做了很多研究，但这些研究完全是方法性的，最有名的是大家所熟知的比例加载，就是用一个非线性有限元方程进行荷载跟踪，在这个比例加载的过程中大家应该注意到，带下标的参考荷载(Reference)，为什么这么做呢？我们要回溯到1974年洛山英教授提出一个通俗语言的简化，我们现在学的屈曲分析理论以及所有的做后屈曲都是在单参数下情况进行的。也就是说我们这个荷载是单一参数，如果说荷载是一个复合参数、多参数（如风荷载、雪荷载、静荷载），用我们现有的计算理论去分析是不适合的。目前，在国外屈曲分析领域有一个非常强大的群体在进行深入的研究，其中一个研究内容就是关于多参数理论，牵涉到多参数变分原理；另外一个研究的重点是屈曲条件，持续到弹塑性问题，形成一个屈曲区，这是目前国外群体主要在做的一些工作。

         我们讲到这里就是简单介绍一下整个发展的过程，总的来说是强调方程的非线性解，也就是说我们的控制方程里面必须含有未知量的高阶量（3阶以上的高阶量），这是我们现代屈曲分析里面一个新点。

         第二个问题我想简要说一下屈曲问题的特征，屈曲特征是用位移去描述结构在外荷载作用下的变形，即用屈曲位移去表述结构变形后的现状，但是，到现在为止，我们今天的屈曲理论没有涉及到屈曲位移，只到了临界状态以后就打住了，也就是说我们屈曲分析给出的大都是临界荷载，屈曲以后怎么样，没有下文。这是目前研究的经典的屈曲理论到现在为止主要遇到的问题。最近我们做了一个工作，把屈曲理论的线性解和非线性解做了一个对比，同一个问题线性解和非线性解的差异，但这还局限于求出临界荷载，也就是说把一个屈曲问题始终局限于强度问题下。为了搞清楚屈曲，我觉得有必要弄明白屈曲的特征，如果我们用位移来描述屈曲的话，那么屈曲位移和弹性位移有很大的区别，弹性位移是在荷载一旦作用下产生了，但屈曲位移不是这样，屈曲位移要到临界状态以后才会出现，在屈曲之前不可能发生屈曲位移，所以如果说试验上或者计算上出现弯曲，结构到底有没有发生屈曲，这在概念上是值得商榷的。第二，弹性位移在撤出外荷载以后是可以恢复的，而屈曲位移是不可恢复的，即结构发生屈曲，撤出外荷载后不可能恢复的初始形状。第三，弹性位移与荷载方向有关，而屈曲位移与荷载方向没有关系。我们后面的延续研究就是关于几何位移，我在这里面顺便说一下，我今年出了一本关于有限元的一本书，有两章是专门关于几何位移怎么算，这里面就涉及了屈曲位移。所以，屈曲位移和弹性位移之间是有区别的，方向不同、发生的时刻不同、可逆性不同，通过这些可以区分它们。

           另外结构为什么会发生屈曲，因为它出现了一个非保守系统，如果说一个结构的应变能转化成能量的释放的话，它不会发生屈曲的。从应力角度出发，在屈曲过程中，结构不产生应力，弹性过程中产生应力，对屈曲位移它又有一个特征，就是说并不是任何宏观结构加载都会发生屈曲，所有一个很重要的概念是我们要研究结构的性状，它可能不可能发生屈曲。

           关于屈曲理论的研究，包括之前讲的国外学者做的大量工作，特别是60年之后对屈曲理论做了更系统的研究，到了2003年华歇德写的那本书也非常详细的总结了屈曲理论，归纳起来就是非线性，方程必须含有非线性，也就是说含有3阶以上的高阶量。

          第二，初始缺陷怎么考虑，初始弯曲，初应力等等，把它归结为等效的外荷载，微分方程式不变，这个3阶以上的方程加了缺失以后，方程的右端项发生改变，对这个方程的解有哪些影响，在库山英1975年出版的书里面给出了这个方程，但这个方程没有解，我们把它解了下来，发现如果在一个非线性方程里面加了缺失之后，原方程（3阶）的3个解有两个退化成虚根，只剩下一个解，所以并不是屈曲问题加了缺失之后就变成极值问题，这个说法并不是很非常全面。从一个数学方程里面的计算可以发现，本来具有3个未知量，有3条路线，最后缺失引入使得方程性态改变了，2个根退化为虚根，只剩下1条路线。所以考虑屈曲必须要引入微小的缺失，一个非线性方程加上一个微小的缺失，这是非线性屈曲经典理论所提出的要求。

      第三，关于模态综合，如果一个系统可能发生屈曲，能发现这个系统里面一些局部屈曲模态与整体屈曲模态的区别，通过线性屈曲分析，若这个系统局部屈曲发生在整体屈曲之前，那根本没有必要担忧这个系统会发生整体屈曲。模态综合这个研究在一定程度上已经在理论和试验上得到证明，与屈曲理论相关的有些东西证明是很困难的，而且这个概念国外的规范里面已经用到了，并且国外的工程设计人员，他们并没有像我们这样害怕整体失稳，上面的三个概念在结构设计中是非常有用的。

刚刚讲到，到了70年代到80年代以后，国外另一个研究群体，就是所谓研究非线性有限元的这部分学者，提出各种各样不同的自动增量步方法，其中比较有名的、并且已经嵌入到商业软件中的是Riks Method，就是我们所说的弧长法。事实上，这些研究仅仅还是在方法层面，并没有深入到屈曲本身。也就是说到目前为止，接下去发表我一下个人的看法，我们的方程不包括非线性高阶项，巴扎特在他的书里面明确讲到，到现在为止，有限元不能解决屈曲问题，我对这句话不是非常同意，但是我同意他，到现在为止有限元确实没有解决好屈曲问题，并不是不能解决。我们现在求解的方程，刚度矩阵是弹性刚度矩阵加上一个几何刚度矩阵，用这个刚度矩阵进行荷载跟踪，跟踪的方法也没问题，问题就是在于根据能量公式推导得到的几何刚度矩阵只反应了初应力对非线性的影响，而忽略了高阶项，所以这个方程还是线性的，我现在也对这个方程能不能进行屈曲分析持怀疑态度。

我们在屈曲分析的过程中，做了大量壳体的研究，最终提出来一个结论，非线性临界荷载=线性临界荷载X缩减因子，这个缩减因子一般在4.0左右，但这个公式只适用于壳体，对其他类型的结构是否适用我还不清楚。